Une différence multiple de 6 - Corrigé

Énoncé

Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , \(7^{n+7}-7^n\) est un multiple de \(6\) .

Solution

Soit \(n \in \mathbb{N}\) . On a : 
\(\begin{align*}7^{n+7}-7^n& = 7^n \times 7^7 -7^n\\ & = 7^n \times (7^7-1)\\ & = 7^n \times (823543-1)\\ & = 7^n \times 823542\\ & = 7^n \times 6 \times 137257\\ & =6k\end{align*}\)  
avec \(k=7^n \times 137257 \in \mathbb{Z}\) . Ainsi, \(7^{n+7}-7^n\) est un multiple de \(6\) .

Variante : par récurrence. Mais évidemment, c'est plus long.