Une différence multiple de 6 - Corrigé

Énoncé

Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$ , $7^{n+7}-7^n$ est un multiple de $6$ .

Solution

Soit $n\in \mathbb{N}$ . On a : 
$\begin{array}{rl}{7}^{n+7}-7^n& =7^n\times 7^7-7^n\\ & =7^n\times (7^7-1)\\ & =7^n\times (823543-1)\\ & =7^n\times 823542\\ & =7^n\times 6\times 137257\\ & =6k\end{array}$  
avec $k=7^n\times 137257\in \mathbb{Z}$ . Ainsi, $7^{n+7}-7^n$ est un multiple de $6$ .

Variante : par récurrence. Mais évidemment, c'est plus long.